Fibonacci gerade wenn 3 | n < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien [mm] $F_n$ [/mm] die Fibonaccizahlen, d.h. [mm] $F_1 [/mm] = [mm] F_2 [/mm] = 1$ und [mm] $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ [/mm] für alle [mm] $n\geq [/mm] 2$. Zeigen Sie, dass [mm] $F_n$ [/mm] dann und nur dann gerade ist, wenn $n$ durch 3 teilbar ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo! Bei o.g. Aufgabe habe ich ein Problem
Der Beweis erfolgt hier ja aller Wahrscheinlichkeit nach mit vollständiger Induktion, da wir das ganze für einen Teil von [mm] $\mathbf{N}$ [/mm] beweisen sollen. Leider verstehe ich nicht ganz, wie man das ganze für alle [mm] $n\in\textbf{N}:3 [/mm] | n$ tun soll.
Mein Ansatz:
Induktionsanfang für $A(n) = 3$:
[mm] $F_3 [/mm] = 2$ ist gerade und gilt somit.
Wie nun den Induktionsschritt? von [mm] $F_{3n}$ [/mm] auf [mm] $F_{3(n+1)} [/mm] schließen?
Vielen Dank für eventuelle Antworten und Hinweise :)
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Hallo,
ich würde die Aussage in jeweils in zwei Richtungen zeigen.
Zunächt die Richtung [mm] $F_{n}$ [/mm] gerade [mm] $\Rightarrow [/mm] 3|n$. Das macht man mit Induktion über $n$.
Induktion funktioniert ja immer so: Zunächst zeigt man, dass eine Aussage [mm] $A\left(n\right)$ [/mm] für ein [mm] $n_{0} \in \IN$ [/mm] gilt. Das hast du schon gemacht für [mm] $n_{0}=3$. [/mm] Dann zeigt man, dass unter der Annahme, dass die Aussage für $n$ gilt, dies auch für $n+1$ zutrifft.
Den Induktionsanfang für $n=3$ hast du schon gemacht. Du musst nun also zeigen dass aus der Aussage [mm] $F_{n}$ [/mm] gerade [mm] $\Rightarrow [/mm] 3|n$ auch folgt [mm] $F_{n+1}$ [/mm] gerade [mm] $\Rightarrow 3|\left(n+1\right)$.
[/mm]
Überlege dir dazu zunächst, wann die Summe zweier natürlicher Zahlen gerade beziehungsweise ungerade ist.
Dann schreibe dir mal die ersten Fibonacci-Zahlen (ich hab mir 8 Stück hingeschrieben) auf und leite daraus eine Vermutung ab, wann eine Fibonacci-Zahl gerade ist. Versuche diese zu beweisen. Wenn du das geschafft hast, haben wir die Vorbereitung für die Induktion zum Beweis der Aussage [mm] $F_{n}$ [/mm] ist gerade [mm] $\Rightarrow [/mm] 3|n$ zusammen.
Erstmal soweit
Viele Grüße
Blasco
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